Grothendieck, les mathématiques comme seule patrie

Je viens de lire  « Alexandre Grothendieck, sur les traces du dernier génie des mathématiques »  de Philippe Douroux.

Je vous invite à cette lecture passionnante et je vous livre ici quelques extraits.  Dans ma recherche sur les algorithmes et les institutions, Grothendieck est un personnage hautement symbolique parce qu’il est issu de l’anarchisme le plus radical. Exilé, apatride, il ne fait plus aucune confiance à la société des hommes. Il ne croit plus qu’aux équations de mathématiques et aux plantes qu’il qualifiera comme ses seules amies.

Alexandre Grothendieck est un des plus grands mathématiciens français et chronologiquement le dernier grand génies des mathématiques selon ses pairs.

Issu d’une famille russe, exaltée par l’anarchisme et les révolutions russes, exilé en France pendant la guerre on dirait aujourd’hui « réfugié en France »,le jeune Alexandre découvrira les mathématiques vers onze ans dans les camps qui lui servira de foyer. Il sera un élève médiocre, mais va se passionner pour cette science qu’il tentera de totalement réinventer.  Se croyant le premier mathématicien il va pratiquement tout redécouvrir tout seul et reconstruire d’abord le champ des mathématiques traditionnelle puis une nouvelle mathématique.

Ce dernier génie des mathématiques disparaîtra totalement de la surface la terre après avoir écrit les pages les plus brillantes d’un nouveau champ des mathématiques. Vivant en ermite dans un village reculé du Gers, il s’exilera à nouveaux du monde des hommes, pour se réfugier dans celui des nombres.

Commençons par l’incompréhensible. Le 16 août 1964, Alexandre Grothendieck écrit une lettre à son ami Jean-Pierre Serre dans laquelle il désigne une notion nouvelle, les Motifs, sur laquelle certains proposent aujourd’hui de refonder les mathématiques. On peut entrer dans ce livre sans rien comprendre à cette notion, mais en lisant la lettre de Grothendieck comme une déclaration prophétique :   « Je vois, j’entrevois une faible lumière, mais c’est dans cette direction qu’il convient d’aller : j’appelle “motif” sur k, quelque chose comme un groupe de cohomologie l-adique d’un schéma algébrique sur k, mais considéré comme indépendant de l, et avec sa structure “entière”, ou disons pour l’instant “sur Q”, déduite de la théorie des cycles algébriques. La triste vérité, c’est que pour le moment je ne sais pas définir la catégorie abélienne des motifs, bien que je commence à avoir un yoga sur cette catégorie, M (k). »

Comme le rappelle l’auteur on pourrait le confondre avec un autre mathématicien maudit : Gregori Perelman qui refusera tous les prix, que l’on viendra lui décerner.  Il refusera successivement : le prix de la société de mathématique Européenne en 1996; la médaille de Fields en 2006 et les 15 000 dollars canadien;  le prix du millénaire de l’Institue Mathématique Clay en 2010 et le million de dollars qui allait avec. Il aurait répondu à la presse venu frapper à la porte de son HLM où il vit avec sa mère : « je peux contrôler l’univers, que voulez vous que je fasse avec un million de dollars »

Perelman pris en photo dans le métro à son insu.
Perelman pris en photo dans le métro à son insu.

Repéré très jeune, tout à la fois doué et bosseur, Gregori Perelman, intègre le Lycée 239 de ce qui s’appelle encore Leningrad. Pris en charge par un entraîneur, il obtiendra le score parfait (42 points sur 42) aux Olympiades de 1982. Cette fois, l’antisémitisme d’État s’incline devant le talent.

Alexandre Grothendiek lui fait ses armes à Montpellier, c’est là que l’on va détecter son talent hors du commun pour les mathématiques. Il résoud des énigmes parmi les plus complexes au mondes…

Les conjonctures de Weil sont expliqués ici par le mathématicien Bertrand Toen à l’université de Montpellier qui rend un hommage au mathématicien Grothendiek. C’est vraiment intéressant et très bien fait… Et permet d’apercevoir ( d’assez loin 🙂 ) une version très simplifiée des travaux du mathématicien.  Comme Bertrand Toen nous le dit dans sa conférence : « Les mathématiques grothendiekennes nous permettent de voir des choses que l’on ne pouvait pas voir auparavant » 

Au lieu de monter à Paris, Alexandre descend à Montpellier. La ville abrite certes la plus ancienne faculté de médecine d’Europe, mais pour les maths, au sortir de la guerre, l’évaluation revient à multiplier 0 à l’infini, ça fera toujours 0, infiniment 0. Une fois de plus, il s’ennuie en cours et cherche des problèmes à sa taille. Un professeur plus attentif que les autres lui a bien parlé des intégrales de Lebesgue, une théorie de la mesure, établie en 1902, s’appuyant sur les travaux d’une ribambelle de mathématiciens qui, comme les maréchaux d’Empire, perdent leur prénom en entrant dans l’histoire : Riemann (Bernhard), Borel (Émile ou Armand), Cauchy (Augustin Louis). Lebesgue avait résolu la question en 1902.

Alexandre Grothendiek sera invité dans les plus prestigieuses écoles des mathématiques : l’École Normale, le Collège de France… mais il le sera toujours sans avoir jamais était un étudiant de ses écoles, ce qui rend son parcours tout à fait unique.

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Après la Seconde Guerre mondiale, la France était sans aucun doute le bon endroit pour se lancer dans cette science aussi légère quant aux moyens déployés que lourde de conséquences. En fait, il faudrait dire Paris et même réduire la capitale au polygone de la Montagne Sainte-Geneviève que surplombe le Panthéon. Avec les lycées Henri-IV, Louis-le-Grand, la Rue d’Ulm, l’École polytechnique, l’Institut Poincaré, le Collège de France et tout ce qu’il y a de « supérieur » en matière de chimie, d’agronomie ou de physique, on peut parler d’une concentration de grands esprits. Au début du siècle, les peintres se croisent à Montparnasse, les écrivains depuis toujours se retrouvent à Saint-Germain-des-Prés, les matheux s’agglutinent au pied du Panthéon. Tout tient dans un carré de cinq cents mètres de côté.

Voici ce que diront ses mentors en 53, Jean Dieudonné et Laurent Shwartz, eux mêmes de grands mathématiciens français « Un chef-d’œuvre de première grandeur, il fallait la lire, l’apprendre, la comprendre, car tout était difficile et profond. J’y mis six mois à temps plein. Quel travail, mais quelle joie ! Les énoncés des théorèmes étaient kilométriques, car rien n’était épargné au lecteur. J’y appris quantité de choses nouvelles. La collaboration avec ce jeune homme si talentueux constitua une expérience fascinante. »

Il participera au collectif Bourbaki, comme le sera André Weil, frère de Simone Weil et auteur des conjonctures de Weil.  « Tout mathématicien digne de ce nom a ressenti, même si ce n’est que quelquefois, l’état d’exaltation lucide dans lequel une pensée succède à une autre comme par miracle… Contrairement au plaisir sexuel, ce sentiment peut durer pendant plusieurs heures, voire plusieurs jours. »

En 1964, Alexandre Grothendieck pose une idée et un mot : les Motifs. De la même façon que Martin Luther King, les Noirs américains, Bob Dylan et Joan Baez, les étudiants contestataires de Berkeley, Cassius Clay, Rudolf Noureev, les Beatles apportent une rupture fondamentale dans la manière de vivre, boxer, danser ou chanter, Grothendieck pose une borne frontière. Il fixe un avant et un après. Là aussi, cinquante ans seront nécessaires pour le comprendre. … /…  Plusieurs mathématiciens ont proposé leur propre représentation des géométries complexes qu’on appelle cohomologie. Il existe une cohomologie des faisceaux, une cohomologie galoisienne, une cohomologie de De Rham… Chaque chercheur travaille à une représentation du monde aussi rigoureuse que possible et qui puisse convenir en toute situation. Mais aucun, avant Grothendieck, n’avait réussi à prendre suffisamment de recul pour voir leurs points communs.

Ce génie, qui réinvente les mathématiques, a vécu dans le monde  des mathématiques, hors de celui des hommes,  pour nous livrer un savoir et des avancées radicales de la mère des sciences.

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